Ioelet
I am Iron Man!
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- 10. Oktober 2009
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Angesichts der Tatsache, dass ich z.Z. nicht dazu komme die Artikel zu schreiben und zumindest diese beiden Fragen sehr simpel zu beantworten sind - nicht ganz doof.@Ioelet: Vielleicht wäre ein Q&A Thread statt den Artikeln auch eine Idee.
Das würde ich garnicht so sehen. Intuitives Bauchgefühl ist tatsächlich in der Mathematik nicht unwichtig. Gerade wenn man nah an der Praxis arbeitet. Aber auch im ganz abstrakten Rahmen kann ein guter mathematischer Instinkt einen zum Teil auf Rechenwege führen, die man systematisch nie gefunden hätte.@Kowalski: Das "Unterbewusstsein" verwendet aber andere Modellbildungsmechanismen als Mathematik.
Deswegen sind Menschen ja auch immer noch viel bessere Mathematiker als Computer. Die können (wie der Name sagt) nur rechnen.
Aber zu den kurzen Fragen:
Im "A Song of Ice and Fire"-Unterforum wurde gerade dieser Mechanismus berechnet.
s. Hier
Für eine nachvollziehbare Schrittweise Herleitung einer Formel würde ich dann wieder auf die Artikel verweisen - das würde hier etwas zu weit führen. Außerdem müsste ich die Formel selbst erst herleiten oder suchen...
Idee beim Erwartungswert ist"Gewichtete Summe aller möglichen Ergebnisse"
und zwar gewichtet mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit.
Idee bei der Varianz ist
"nach Wahrscheinlichkeit gewichtete quadrierte Abweichung aller möglichen Ergebnisse jeweils vom Erwartungswert"
Bei 4 Würfeln lässt sich das dann sogar noch per Hand ausrechnen:
Rezept:
1.) Wir nehmen 4 verschiedenfarbige W6. (gelb, rot, grün, blau) Jeder davon könnte 6 verschiedene Ergebnisse zeigen. Die Ergebnisse des gelben Würfels beeinflussen den roten offensichtlich nicht und auch alle anderen Farbkombinationen sind unabhängig.
Wir haben also 6 Möglichkeiten für gelb. Jeder dieser 6 kann gleichzeitig mit 6 Möglichkeiten von rot erwürfelt werden. Also 6*6 Möglichkeiten was ein Wurf von gelb-rot zeigen könnte... für alle 4 Würfel landen wir also bei 6*6*6*6 Möglichkeiten, was die anzeigen können. Macht 1296 mögliche Würfelergebnisse.
2.) Jetzt berechnen wir Wahrscheinlichkeiten: Für 1296 Fälle??? Nein, natürlich nicht. Wir brauchen ja Wahrscheinlichkeiten aller Möglichen Ergebnisse dessen wovon wir den Erwartungswert wollen - nämlich der Summe von 3 aus 4 W6. Und die liegt zwischen 3-fach 1 und 3-fach 6.
Wir brauchen also die Wahrscheinlichkeiten von 3 bis 18. 16 Stück also - das würde sogar gehen. Auch wenns ne ziemliche Rechnerei wird und erfahrungsgemäß am Ende sowas wie "42" rauskommt, weil man sich irgendwo verrechnet hat.
Wahrscheinlichkeit für Summe 3:
Alle 1296 Fälle von oben sind gleich wahrscheinlich, also jeweils 1/1296. Damit wir 3 1er addieren müssen, müssen wir 4 1er würfeln. Jeder andere Wurf gibt uns die Möglichkeit einen höheren Würfel zu behalten und in die Summe einzurechnen.
Also haben wir einen möglichen Fall mit Summe 3, mit Wahrscheinlichkeit 1/1296
=> P(Summe ist 3) = 1/1296
Wahrscheinlichkeit für Summe 4:
Um 4 als Summe zu erhalten brauchen wir eine gewürfelte 2 und sonst nur 1er. Eine zweite 2 würden wir ebenfalls behalten und somit auf 2+2+1=5 kommen... wollen wir aber ja nicht. Also bleibt nur die Würfelkombination 2, 1 ,1 , 1 wobei der zweier aber sowohl gelb als auch rot, grün oder blau sein kann. Vier verschiedene Fälle also, mit je Wahrscheinlichkeit 1/1296
=> P(Summe ist 4) = 4/1296
...
Das ziehen wir jetzt bis 18 so durch.
3.) Danach summieren wir nach Wahrscheinlichkeit gewichtet unsere Ergebnisse auf:
3*(1/1296) + 4*(4/1296) + 5*... = 12,24 (wenn das Tool aus dem aSoIaF-Thread richtig gerechnet hat)
Fertig
4.) Es ist hier gerade heiß und mein Kopf glüht, weshalb mir gerade keine Formel einfällt um das zu vereinfachen. Aber bei Würfelwürfen kann man normalerweise immer was aus der "Multinomialverteilung" (s. Wiki, wenns interessiert) zusammenbasteln. Die Multinomialverteilungsformel gibt uns die Wahrscheinlichkeiten. Gerade im Bereich mittlerer Werte wird das nämlich eine ziemliche umständliche Angelegenheit, wenn man mit bunten Würfeln alle Möglichkeiten basteln und zählen will. Auf anhieb ist das die einzige Abkürzung die mir einfällt... ein anderer Ansatz wäre noch die Wahrscheinlichkeiten für einfach 4 aufsummierte Würfel zu berechnen und dann bei jedem Wert zu berechnen, was man jeweils mit welcher W.keit als niedrigstes Würfelergebnis wegstreichen müsste. Könnte in manchen Fällen schneller gehen.
5.) Für die Varianz: Im wesentlichen das selbe Rezept, wenn man verstanden hat was eine Varianz ist...
In der Tabelle des aSoIaF-Threads steht hier übrigens unter "Abweichung" die Standardabweichung - das ist die Wurzel der Varianz.
Ich befürchte meine Antwort war hier vielleicht nicht sehr befriedigend - aber in den Artikeln werden wir wohl auch öfter zu dem Ergebnis kommen, dass gerade Streich-Summen-Pool-Systeme sich nicht dazu eignen spontan am Spieltisch Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Ich glaube selbst der umständliche DSA-Mechanismus ist da einfacher zu berechnen.
Das soll auch garnicht Ziel der Artikel sein.
Viel wichtiger sind mir die Fragestellungen wie "Wenn ich Zeit habe, woher kriege ich dann so ne Wahrscheinlichkeit? Was bringt mir so eine Zahl? Was bedeutet das für die Praxis? Kann ich mit dem Wissen, dass der Erwartungswert 12,24 beträgt irgendwas anfangen? Sind alle Systeme, die bei einem Wurf Erwartungswert 12,24 haben beliebig austauschbar oder was sollte ich noch berücksichtigen?"
