Erfolgswahrscheinlichkeiten bei Würfeln

Da ich gestern eine Wahrscheinlichkeitstheorieklausur geschrieben habe und noch recht gut im Stoff bin, habe ich eine Erfolgswahrscheinlichkeitstabelle für Würfelwürfe bei VtM gemacht. Die Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeit jeweils dafür an, je nach dem wieviele Würfel man verwendet, bei einer bestimmten Schwierigkeit, wieviele Erfolge man würfelt. Berücksichtigt wird hierbei auch die 1ser-Regel (bei 1 wird Erfolg abgezogen) und auch Patzer sind in den Wahrscheinlichkeiten beinhaltet.
Die zehner Regel habe ich außen vor gelassen, da diesbezüglich viele Hausregeln verwendet werden. Also eine 10 zählt in der Tabelle als ein normaler Erfolg.

Der Ansatz ist die dreidimensionale Multinomialverteilungsfunktion, für die Kombinatorik habe ich ein Excel Makro geschrieben.

Viel Spaß mit der Tabelle!

Anhang anzeigen owod wkeiten xs.xls

AW: Erfolgswahrscheinlichkeiten bei Würfeln

Das entspricht also der aktuellen V20 Regel ohne Berücksichtigung einer Spezialisierung.
Vielen Dank dafür ! Das ist ja schon mal viel präziser als mein Ansatz.

AW: Erfolgswahrscheinlichkeiten bei Würfeln

Ja, genau das. Wenn ich die Spezialisierung so drin haben möchte, wie im v20, also einfach eine 10 doppelt zählen, lässt es sich einfach mit einer vierdimensionalen Mulitnomialverteilung machen. Allerdings wäre der Makro etwas komplizierter. Vielleicht setze ich mich bei Gelegenheit nochmal da dran.

Grob abgeschätzt kann ich aber sagen, dass es sich an den Patzer- und Null Erfolge wahrscheinlichkeit nichts ändern wird, die Wahrscheinlichkeit für unteren Erfolgszahlen werden minimal sinken und die Wkeit für hohen Erfolgszahlen steigen werden. Die Varianz wird sich über 2n Erfolge bei n Würfeln erstrecken, allerdings in den oberen Bereichen so gering sein, dass es nur eine theoretische Bedeutung hat.

AW: Erfolgswahrscheinlichkeiten bei Würfeln

hm.. also würfeln hin oder her ich mag es einfach nicht, weil es meiner Meinung nach nicht realistisch ist
was ein charakter kann oder nicht. Meine Tzim (küken ) hat nen Ahnen im nahkampf durchgelassen weil
mich ausnahmsweise die würfel umgerannt haben. Und in der nacht hatte sie das erste mal ein Schwert
in der Hand, dem Ahnen ist kein Treffer gelungen. Seither unterlasse ich es zu würfeln. Wenn es sich nicht
vermeiden lässt.. setz ich auch in meinen Festplay 1W10 an man sagt vorher an grade oder ungerade .. oder
aber 6 Erfolg.. klappt bestens ^^

Tiry

AW: Erfolgswahrscheinlichkeiten bei Würfeln

LaTiryara schrieb:

hm.. also würfeln hin oder her ich mag es einfach nicht, weil es meiner Meinung nach nicht realistisch ist
was ein charakter kann oder nicht.

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Deine Aussage ist etwas undeutlich und es fällt mir schwer deinen Gedanken zu folgen (was auch an mangelnder Rechtschreibung liegt).
Ich vermute du möchtest sagen, das du grundsätzlich versuchst das Würfeln zu vermeiden, weil gelegentlich das Ergebnis nicht mit deiner Erwartung übereinstimmt?
Aber ist das nicht gerade der Sinn des Würfelns, das man auch unwahrscheinlichen (du sagst unrealistischen) Ereignisse eine Chance gibt?
Schließlich erzeugt dies doch eine gewisse Spannung, ansonsten würden in sämtlichen Fantasy- oder Actionfilmen ja immer die Bösen triumphieren.

Oder bist du noch grundsätzlicher schlicht dagegen Charaktere in Werte zu pressen, da dies niemals alle ihre Fähigkeiten angemessen abdecken kann und favorisierst vielmehr die reine Beschreibung von Charakteren und NSCs sowie aller Ereignisse ohne dich von mangelhaften "Simulationssystemen" einschränken zu lassen?

Die Tabelle ist fehlerhaft!


Bei 3 Würfeln gegen Schwierigkeit 3 gibt es folgende Kombinationen für einen Patzer (mehr 1er als Erfolge):

3 1er: 1

2 1er: 1 x 1 x 9 x 3 = 27 (2 1er, eine Zahl, die keine 1 ist (denn die Kombination 3 1er haben wir ja bereits gezählt), also 2 bis 10 sind 9 Möglichkeiten und die 1 kann an 3 verschiedenen Positionen sein)

1 1er: 3 (nur genau 1; 2; 2 wobei die 1 an 3 verschiedenen Positionen sein kann. Die anderen Zahlen können nur 2er sein, da es sonst kein Patzer mehr wäre)

Damit ist die Chance für einen Patzer 31:1000 = 3,1% und nicht 0,70%.



Bei 3 Würfeln gegen Schwierigkeit 3 gibt es folgende Kombinationen für 0 Erfolge:

3 2er: 1
1; 2; 3+: 8 x 6 = 48 (es gibt 3 x 2 = 6 Möglichkeiten 3 verschiedene Zahlen anzuordnen)

Damit ist die Chance für 0 Erfolge 49:1000 = 4,9% und nicht 7,3%.



Zusammen ergibt sich 3,1% + 4,9% = 8%. Die anderen Wahrscheinlichkeiten für 3 Würfel gegen Schwierigkeit 3 stimmten und ergeben die restlichen 92%.



P.S.: Kennt jemand eine Möglichkeit, wo man die korrekten Wahrscheinlichkeiten findet?

So, eben registriert, noch nicht vertraut mit der Mechanik hier.

Ancoron Fuxfell schrieb:

Die Tabelle ist fehlerhaft!

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Tatsache. Schade ist halt, dass die Rechenwege nicht mit angegeben sind, sonst hätte ich da rübergucken können. Habe aber eine Idee, wie man das fixen könnte.
Habe neulich nämlich selbst eine Tabelle erstellt, weil ich mal die V20 mit der V5 vergleichen wollte, wobei ich all die Feinheiten mit Dreckiger Erfolg etc. noch nicht ideal umzusetzen weiß. Bin auch noch an der V20-Tabelle, weil ich die Mindestwahrscheinlichkeiten - also die Wahrscheinlichkeit, bei Schwierigkeit X und Y Würfeln mindestens Z Erfolge zu würfeln - angegeben hatte und nicht weiß, wie ich da die Erfolgsnegierungen durch 1er implementieren soll. Aber mit vivienss Tabelle habe ich da ne Idee und mache mich mal an's Basteln.

Oder gibt es dazu deinerseits neue Erkenntnisse?

So, nachdem ich lange dran saß und doch nicht gut vorankam, hab ich einfach mal gesucht und bin fündig geworden. Soweit ich nachvollziehen konnte, sind diese Tabellen korrekt. Der theoretische Teil zu Beginn sollte für sich sprechen, es scheint in LaTeX geschrieben zu sein und stellt 3 Methoden vor. Die ersten beiden werden häufig (s.o. vivienss Tabelle), die dritte wurde im vorliegenden Paper verwendet.
Es finden sich verschiedenste Tabellen für sowohl oWoD als auch nWoD. Darunter unter anderem(!) Tabellen der oWoD für die Pre-Revised Edition-Regeln, der Revised-Regeln, 10ths rerolled, Threshold, Vereinfacht (1er negieren keine Erfolge). Dabei gibt jeder Eintrag die Mindestwahrscheinlichkeit an, also ebenfalls anders als die OP in ihrer Tabelle berechnet hat.
Die V5 ist leider nicht berücksichtigt, da das Paper von 2009 stammt. Somit ebenfalls die V20 nicht, aber praktischerweise sind es dort bzgl. Patzer etc. Revised-Regeln, soweit ich mich erinnere.

Für alle Lesefaulen oder diejenigen, denen es sonst wie zu theoretisch/mathematisch ist, hier eine kurze Zusammenfassung (und meine Ausschweifungen) der vorgestellten Methoden in meinen Worten:
(Achtung: Ereignis und Ergebnis sind nicht dasselbe. Ein Ergebnis kann ein Ereignis sein, aber ein Ereignis besteht aus mindestens einem Ergebnis (mit Ausnahme der leeren Menge; "unmögliches Ereignis": wie der Name schon sagt, für die Praxis hier irrelevant).
Ich habe mich bemüht, diese korrekte Terminologie anzuwenden, fürchte aber um Patzer meinerseits; ich bitte also um Korrektur)

1. Monte Carlo Methode (bzw. Simulation):
Ganz klassisch: einfach eine representative Anzahl an Malen würfeln, notieren und die Ergebnisse durch die Gesamtanzahl teilen. Das dann nur für alle Würfel-Pools und alle gewünschten Schwierigkeiten machen. Dementsprechen nervig.
Angenommen, man könne die betrachteten Ergebnisse als Binomialverteilung (Alle möglichen Ergebnisse VS betrachtete Ergebnisse) darstellen (in gewissen Grenzen möglich, mehr dazu unten), so kann diese bekanntermaßen unter gewissen Umständen (z.B.: bei ausreichend vielen Versuchen) in eine Normalverteilung übergehen. Daraus ergibt sich für eine Genauigkeit von zwei Dezimalstellen (also 10er- und 1er-Stelle einer Prozentzahl, wobei letztere gerundet ist), dass eine Mindestwurfzahl von 90.000 pro Eintrag notwendig ist.
Sehr umständlich und nur per Computer durchführbar, wofür man allerdings eine gewisse Programmierkenntnis aufweisen muss.

2. Mulitnomial-Verteilung:
Obwohl bei Methode 1 die betrachteten Ergebnisse sozusagen "im Nachhinein" zwar als binomialverteilt aufgefasst und die Würfe simuliert werden können (z.B. "mindestens 5 Erfolge", "genau 2 Erfolge", "patzen", "Keine Erfolge"), so ist es für die Berechnung im Vorfeld nicht ausreichend.
Wie der Name sagt, handelt es sich bei jeder Rechnung um die Betrachtung eines Ereignisses und eines sogenannten Gegen-Ereignisses, also zwei Stück (Binomial); z.B. gilt bei einer SWK von 7 ein Ergebnis von 7 oder höher als eingetroffenes Ereignis, alles andere als Gegen-Eregnis - letzeres blöderweise inkl. Einsen. Dadurch würde jedoch ein Erfolg negiert werden und sich somit das gesamte Ergebnis, also die Summe der Erfolge, ändern; in der Rechnung ist diese Änderung jedoch nicht berücksichtigt. Simuliert man es, so zählt man Erfolge, zieht 1er ab und hat am Ende sein korrektes Ergebnis, bezieht dies wie oben erwähnt auf alle möglichen Ergebnisse und hat nachträglich also die Wahrscheinlichkeit. Wenn man also erst alles simuliert und dann auch nochmal berechnet, nur um wieder zum gleichen Ergebnis zu kommen, wäre dies nicht nur umständlich, sondern ebenfalls unnötig ...
Will man aber ein Ergebnis ohne (simulierte) Würfe berechnen, so muss man die Negierung von Erfolgen mit einfließen lassen, also hat man als mögliche abzuzählende Würfelergebnisse (auf Erfolge bezogen):
Erfolg (je +1), Nicht-Erfolg (0) und Negierung (je -1).
Unglücklicherweise ergibt sich daraus, dass man verschiedene Kombinationen von gewürfelten Erfolgen und 1ern aufstellen, anschließend deren Wahrscheinlichkeiten berechnen und diese dann aufsummieren muss. Kombination bedeutet hier im Beispiel: mindestens 5 Erfolge bei 9 Würfeln:

• 5 Erfolge und 0 Einsen
• 6 Erfolge und 0 Einsen
• 6 Erfolge und 1 Eins
• 7 Erfolge und 0 Einsen
• 7 Erfolge und 1 Eins
• 7 Erfolge und 2 Einsen
• ...
• 9 Erfolge und 3 Einsen
• 9 Erfolge und 4 Einsen

Mehr dazu auf Seite 5 unter "Fact 6" der angehängten Datei.
Des Weiteren gibt es mWn keine bereits implementierte Excel (o.ä.) Funktion, um die Mindestwahrscheinlichkeiten zu berechnen - im Gegensatz zur Binomialverteilung.
Ebenfalls sehr umständlich, alle Kombinationen erst aufstellen und dann berechnen und summieren zu müssen.

3. Rekursion
Sehr interessant und recht simpel, wäre ich so leider nicht drauf gekommen.
Man betrachtet von allen verfügbaren Würfeln einen davon als anders, z.B. einen als rot, den Rest als blau (Das ist nicht zwangsläufig notwendig. Falls dieses Detail verwirrt, einfach mal gedanklich weglassen und dann nochmal den Rest durchdenken.)
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens X Erfolge zu würfeln (im Paper an dieser Stelle als "S successes" bezeichnet), ergibt sich also aus der Summe von:

• 1 Erfolg auf dem roten und mindestens X-1 Erfolge auf den blauen Würfel
• 0 Erfolge auf dem roten und mindestens X Erfolge auf den blauen Würfeln
• -1 Erfolg (eine 1) auf dem roten und mindestens X+1 Erfolge auf den blauen Würfeln

Also ergibt die Summe aus Erfolgen (+1) und Einsen (-1) immer X. Wer bis hierhin folgen konnte, sieht eine Ähnlichkeit zu 2., wo X aber immer mindestens 5 war und bis zur Anzahl der Würfel (9) gehen konnte. Das ist hier nicht der Fall, da eine Kombination aus exakter Anzahl (roter Würfel) und Mindestanzahl (blaue Würfel) gegebn ist. Total abgefahren, muss man echt ne Weile auf sich wirken lassen. Je länger ich drüber nachdenke, desto mehr ist mein Kopf matschig.

Man muss nun gemäß der oben genannten Zusammenstellung für jede Schwierigkeit nur noch alle drei möglichen, exakten Wahrscheinlichkeiten (-1, 0, -1 Erfolg) für den einen roten Würfel berechnen und die fünf möglichen Mindestwahrscheinlichkeiten (-2, -1, 0, +1, +2 Erfolge) für 2 Würfel berechnen; für letzeren ist die Unterscheidung in rot und blau irrelevant. Deren Berechnung sind nicht explizit im Paper angegeben und die Ergebnisse (S.6) muten ggf. merkwürdig an, sind aber recht simepl. Wer Fragen dazu hat: einfach melden, ich weiß die Antwort.

Danach ergibt sich aus Kombinationen dieser Werte nach obigem Schema alles Weitere:
Mindestwahrscheinlichkeit 1 Erfolg für drei Würfel = Summe aus:

• roter Würfel (+1) * zwei blaue Würfel (0)
• roter Würfel (0) * zwei blaue Würfel (+1)
• roter Würfel (-1) * zwei blaue Würfel (+2)

Für vier Würfel ersetzt man dann die Faktoren der "zwei blauen Würfel" durch die entsprechenden, vorher berechneten drei blauen Würfel. Daher Rekursion genannt.

Zusammenfassung Rekursion:
Damit beschränkt sich die Summe für jede Zelle auf drei Summanden. Diese drei Summanden ergeben sich aus den exakten Wahrscheinlichkeitswerten für einen Würfel (3 Stück) und den Mindestwahrscheinlichkeitswerten für die vorige Würfelanzahl (ebenfalls 3 Stück). Dadurch ist es mühsam, nur eine einzelne Wahrscheinlichkeit auszurechnen, aber zum Erstellen einer Tabelle eignet es sich bestens - und dennoch ist es eine exponentiell wachsende Anzahl an Rechenschritten, ob Tabellenkalkulationsprogramm oder nicht.
Ich denke also, ich spreche im Namen von uns allen, dass der Ersteller dieses Papers, den ich leider nicht unter der angegebenen E-Mailadresse erreichen konnte, sowohl für die ausführliche Erklärung als auch das Erstellen etlicher verschiedener Tabellen über 16 Seiten unsere Dankbarkeit dafür verdient, dass diese seit Ewigkeiten diskutierte Frage seit über 12 Jahren beantwortet ist und trotzdem immer wieder aufkommt und falsche Berechnungen im Netz (re)kuriseren.

Edit:
Vergessen, die Datei anzuhängen ....