Statistik: Verteilungen jenseits der Glockenkurve

OK, ich weiß, für viele hier ist Gleichverteilung (1W6, 1W20...) gut genug, und die meisten anderen sind mit einfachen Glockenkurven-Verteilungen (nW6 usw.) auch glücklich, und die DRASTIC-Leute sagen sowieso "Ich spiele einen Charakter, und mein SL schummelt!"

Aber ich hab nun mal ein paar Statistik-Vorlesungen gehört, und mag auch, was Geistesgrößen wie Benoit Mandelbrot (Stichwort Chaostheorie) und andere zum Fach gesagt haben.

Und bei letzterem habe ich ein Beispiel gefunden, das hier recht am Platz ist:

Kurt und Zacharias spielen ein Münzwurfspiel: Einer von beiden wirft eine Münze so lange, wie seine Seite (Kopf für Kurt und Zahl für Zacharias, deshalb heißen die beiden auch nicht Peter und Paul) kommt. Anschließend gewinnt er vom anderen 1 Euro, wenn beim ersten Mal schon die falsche Seite kam; 2 €, wenn seine Seite nur beim ersten Mal kam und dann nicht mehr; 4 €, wenn sie zweimal kam; usw.

Preisfrage: Wieviel Geld müsste er als "Eintritt" für dieses Spiel zahlen, damit es fair für beide ist? (Die Münze ist fair.)

Tipp: Man muss nur den Erwartungswert berechnen. Wenn das Spiel auf einen Wurf beschränkt wäre, wäre der: 50% von 1€ + 50% von 2€ = 1,50 €. Soweit, so uninteressant. Aber wenn es keine wie auch immer geartete Obergrenze gäbe: Wie hoch wäre er dann?


Ein ähnliches System gibt es auch mit den offenen Würfen in Rolemaster. Wenn ein Wurf nach oben/unten offen ist, hat man eine Chance von je 5%, dass man nochmal würfeln muss, und das Ergebnis aufaddiert/abgezogen wird. Und wenn der W100 dann wieder 96-100 ergibt, muss man nochmal würfeln und wieder aufaddieren/abziehen, ud so theoretisch weiter bis in alle Ewigkeit.

Und in Earthdawn sind alle Würfe nach oben offen. (Früher hatte ich mal eine Tabelle dazu erstellt.)

Irgendwie hatte ich das richtige Gefühl, als ich diese zwei Mechanismen aus unerfindlichen Gründen besonders itneressant fand...

Savage Worlds benutzt auch offene, genannt explodierende Würfel, so wie viele Systeme.

Ich bin jetzt kein Crack in Stochastik, da ich nur das Überlebensnotwendigste gelernt hab, aber dass das Ergebnis unendlich ist, wenn es potenziell unendlich viele Würfe gibt, finde ich jetzt nicht überraschend.

BoyScout schrieb:

Savage Worlds benutzt auch offene, genannt explodierende Würfel, so wie viele Systeme.

Ich bin jetzt kein Crack in Stochastik, da ich nur das Überlebensnotwendigste gelernt hab, aber dass das Ergebnis unendlich ist, wenn es potenziell unendlich viele Würfe gibt, finde ich jetzt nicht überraschend.

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Das schon, aber ein explodierender Würfel hat eine geringere Chance zu explodieren, üblicherweise bei einem n-seitigen Würfel 1-n-tel.
Oben im Beispiel ist ja jeder Summand gleich 1/2 €.
Wenn die Regeln wie im Beispiel oben die gleichen bleiben und der Einsatz verdoppelt wird ist jeder Summand bei einem n-seitigen Würfel Summe über x(i) [ (1/n)hoch x(i) *x(i)*1€ ], also müsste das Ergebnis statt auf Unendlich auf einen Grenzwert zulaufen.
@Max Sinister 2 korrekt? Meine Stochastik Vorlesung ist schon ne Weile her und ich hab das jetzt eher aus dem Bauch raus überschlagen.

Man könnte natürlich auf das gleiche Ergebnis kommen, wenn der Einsatz nicht verdoppelt wird sondern ver-n-facht.

Achso, du meinst, weil der Zuwachs immer weiter abnimmt.
Aber das kann man doch mit höherem Einsatz wieder ausgleichen, oder nicht (bin zu faul zum Rechnen)'?

EDIT: ah, hast du ja geschrieben. Also wie gesagt, finde ich nicht überraschend.

Ein ähnliches System gibt es auch mit den offenen Würfen in Rolemaster. Wenn ein Wurf nach oben/unten offen ist, hat man eine Chance von je 5%, dass man nochmal würfeln muss, und das Ergebnis aufaddiert/abgezogen wird. Und wenn der W100 dann wieder 96-100 ergibt, muss man nochmal würfeln und wieder aufaddieren/abziehen, ud so theoretisch weiter bis in alle Ewigkeit.

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Das konvergiert dann allerdings. Und die Varianz ist auch endlich.

@Durro-Dhun : Richtig. Wenn Kurt eine Münze benutzt, bei der seine Seite (Kopf) nur jedes vierte Mal oben liegt, wäre der Erwartungswert:

3/4 * 1€ + 3/16 * 2€ + 3/64 * 4€ = 3/4 (1 + 1/2 + 1/4 +...) €, was auf 1,50 € hinausläuft.

Das entspricht (in etwa) einem nach oben offenen/explodierenden W4, bei dem man bei jeder 4 das Ergebnis verdoppelt und dann weiterwürfelt. (Wie das mit normalen explodierenden ist, bei denen nur aufaddiert wird, darüber müsste ich selber noch nachdenken. Lognormale Verteilung?)

An dieser Stelle kommt das alpha ins Spiel: Potenzverteilungen kann man auf diese Weise beschreiben: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis mindestens bei 2X liegt, ist (2 hoch alpha)-mal kleiner als die für (mindestens) X. Und das ist unabhängig davon, wie hoch wir X wählen, solange es reell und > 0 ist. Das nennt man "Skalenunabhängigkeit".

In ersten Beispiel ist alpha = 1, und doppelt so hohe Ergebnisse sind halb so wahrscheinlich.

Im zweiten ist alpha = 2, und doppelt so hohe Ergebnisse sind ein Viertel so wahrscheinlich.

Und wenn die Münze von Kurt nur jedes achte Mal "Kopf" ergeben würde, wäre alpha = 3.

Wenn alpha = 1 oder kleiner ist, wird der Durchschnitt unendlich.

Wenn alpha = 2 oder kleiner ist, wird die Varianz unendlich. (Wo ich dabei bin: Möchte jemand eine Erklärung, wofür man Varianz im RPG brauchen könnte?)

(alpha kann auch einen krummen Wert wie 2,5 oder Pi haben, aber das ist ohne Computer schwerer zu simulieren.)


In der Praxis wäre das Spiel natürlich begrenzt, weil niemand unendliche Ressourcen hat. Selbst wenn Zacharias das ganze Weltall besitzen würde, dieses 10**100 Elementarteilchen enthält, und jedes davon 1€ wert wäre, wäre das Spiel schon nach ~330 Zügen zu Ende. In dem Fall wäre (wieder bei einer fairen Münze) der Erwartungswert nicht mehr unendlich, sondern gerade einmal 165 €.

und wieso nutzt man Basis 2 für die Skalenunabhängigkeit?

BoyScout schrieb:

und wieso nutzt man Basis 2 für die Skalenunabhängigkeit?

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Muss man nicht! Wie du leicht sehen kannst: Vierfach so hohe Ergebnisse sind bei alpha = 1 viermal so selten, bei alpha = 2 sechzehnmal, und bei alpha = 3 64-mal.

Bei einer realistischen Verteilung, bei der das Ergebnis von dem Wurf beliebig sein kann und nicht wie hier aus bestimmte Werte (1, 2, 4, 8...) beschränkt ist, würde das für jede beliebige Basis gelten. Dann wären dreifach so hohe Ergebnisse bei alpha = 1 dreimal seltener, bei alpha = 2 neunmal, bei alpha = 3 27-mal... oder ganz allgemein: Wenn die Basis = X, dann sind X-mal so hohe Ergebnisse (alpha hoch X)-mal seltener.

Warum mir diese seltsamen Verteilungen so wichtig sind? Ich mag auch guten Fluff, aber eben auch guten Crunch, und Potenzverteilungen sind sehr crunchig. Und sie kommen häufig im echten Leben vor. Bekanntestes Beispiel: Ungleichverteilung der Einkommen/Vermögen. 1% der Leute besitzt 50% vom Geld, oder noch mehr.

Und solche Verteilungen gelten z.B. auch für:
- Größe von Ländern
- Größe von Religionsgemeinschaften, nach Anhängern
- Anzahl der Exemplare pro Spezies
- Anzahl der Bücher in Büchereien (dürfte auch für magische gelten)
usw.

Ich würde wirklich gerne einmal eine Welt sehen, die nach diesen Kriterien erstellt ist. Momentan müssen die Autoren ja schwer improvisieren, wenn sie dem SL z.B. eine Möglichkeit anbieten, auszuwürfeln, wieviel Schätze auf einem Stück Land vergraben sind. Mit 1W20 oder 3W6 kommt man da kaum weiter, wenn man eine Spanne von "eine Kupfermünze" bis "Smaugs Hort mit 20 Tonnen Gold" hat.

Man kann zwar improvisieren, nach dem Motto "wirf W100, bei einer 100 würfel nochmal auf der Tabelle für große Schätze; wenn nochmal 100 kommt, würfel auf der für riesige Schätze...", aber trotzdem.

Mit der Potenzverteilung ergibt vieles auf einmal deutlich mehr Sinn.

Ich finde es sehr schwierig deine Folgeposts nachzuvollziehen. Beginnt, dass ich nicht ohne weitere sehen kann auf welche Beispiele du dich beziehst. Vorher wars 2 hoch alpha, jetzt ist's X hoch alpha. Meinst du vielleicht p(Y*X) ist Y hoch alpha ?
Zumindest wurd mir wieder ins Gedächtnis gerufen, dass es sowas wie Skalenunabhängigkeit gibt und kann das bei Bedarf recherchieren.

Ansonsten teile ich deine "Spielweltsicht" absolut. Ich nutze für mein System mit einem expodierenden W10 eine Wertetabelle, die sich um alle 9 Stufen verzehnfacht, Erfolgschancen alle 9 Stufen zehntelt usw

Hier geht es um Mathematik - soll heißen, sie funktioniert abstrakt, also sogar ohne konkrete Beispiele.

Und ja, es geht um Skalenabhängigkeit. Und die besagt: Egal ob man sich die großen oder kleinen Beispiele anschaut, es gilt immer: Die Wahrscheinlichkeit, dass man einen Wert von mindestens X hat, ist immer Y-mal größer als die Wahrscheinlichkeit, dass man einen Wert von mindestens X*Z hat. Dabei gilt: Y = Z hoch alpha.

Weil man es hier oft mit sehr großen UND kleinen Zahlen UND Wahrscheinlichkeiten zu tun hat, benutzt man für die Darstellung oft doppelt-logarithmische Koordinatensysteme. Und darin sieht man dann: Die Werte für die Kombination aus Wert und Wahrscheinlichkeit dafür werden alle auf einer Geraden liegen. Womit alles klarer wird. Wenn ihr wollt, kann ich mal eins für das Münzspiel von weiter oben machen.

Danke, das war verständlich.

Nachdem es jemand bei Tanelorn angesprochen hat:

Viele Systeme bilden die Schwankungen von "Proben" im echten Leben nicht richtig ab. Auch nicht, wenn man die Glockenkurve dazunimmt. Als Beispiele Gewichtheben: Es kann leicht schiefgehen; in den meisten Fällen wird man soviel stemmen können, wieviel die Körperkraft erlaubt; und nur selten wird man darüber hinauskommen.

Die statistischen Verteilungen, die man dafür braucht, nennt man in der Fachsprache (wie hier) rechts-steil oder linksschief. (Ich bevorzuge ersteres.) Mit anderen Worten: Die Glockenkurve sieht aus, als hätte man den Gipfel etwas nach rechts gedrückt.

Das Gegenteil wäre auch denkbar: Wenn man z.B. wissen will, wie lange es dauert, ein Gebäude (z.B. BER) zu bauen, sollte klar sein: Kürzer als geplant wird schwierig, unter 0 ist komplett unmöglich, sogar mit Magie, aber dass der Bau doppelt und dreifach so lange dauert wie die Planung, ist leicht möglich. Dann wäre die Verteilung links-steil oder rechtsschief.

Auf der WP-Seite sind auch selbsterklärende Grafiken.

Soll ich das Thema vertiefen?

*Thread wiederbeleb*

Wer mich kennt, weiß auch, dass ich ein großer Fan von KULT bin. Das erwähne ich hier, weil mich die Sache irgendwie daran erinnert.

(Aus dem alten KULT-Regelwerk

Unser Beispiel-Charakter Gilbert ist in einem Museum in New York unterwegs. Es ist gerade nicht viel los, außer ihm ist nur der Wärter da, ein kleiner Mann mit einem Schnurrbart. Gilbert hat ein Artefakt dabei - eine Art Puzzle, von der Größe und Komplexität her ungefähr so wie die Lament Configuration.

Er setzt das letzte Stück an die richtige Stelle, und...

Sehe jetzt erst deinen Post mit den "Alltagsproben". Es ist natürlich absolut richtig was du sagst (in der Sache, fachlich bin ich da am Rande). Da ich ein simlastiges Homebrew nutze, habe sowohl was glockenartiges (mehr pyramidisch), als auch rechtssteiles.

Ich fürchte, es gibt genug " RPG Designer" denen diese Verhältnisse vollkommen unklar sind, was erschreckend wäre. Aber es bildet die RPG landschaft ab (insbesondere die "one mechanism" RPGs, wobei man bei erzähllastigen Regeln lockerer sein kann).

Dennoch lässt sich nicht alles in Wahrscheinlichkeiten ausdrücken. So gibt es genug Fälle, wo würfeln häufig keinen Sinn ergibt z. B. die Laufgeschwindigkeit in offenen Terrain - klingt banal, aber wer kennt sie nicht die Athletikproben.

Auch beim Gewichtheben ist es de fakto unmöglich, dass ein Gewichtheber unter 5kg heben wird. Aber knapp übers maximum schon (dafür habe ich eine Probe, die quasi nur "rechtssteil" ist und gar kein Ergebnis unter Skill kennt.)

BoyScout schrieb:

Auch beim Gewichtheben ist es de fakto unmöglich, dass ein Gewichtheber unter 5kg heben wird. Aber knapp übers maximum schon (dafür habe ich eine Probe, die quasi nur "rechtssteil" ist und gar kein Ergebnis unter Skill kennt.)

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Maximum ist Maximum (wenn es so etwas gibt, wie z.B. beim Sprintvermögen, aber z.B. nicht bei der Schusspräzission, wenn du das Ziel selbst erreichen könntest) . Das verschiebt sich durch eine Verbesserung der Grundlagen, nicht durch eine perfekte Ausführung.
Wenn dir die 5 kg Scheibe runterfällt, oder du dabei eine blöde Bewegung gemacht hast und dich zerrst, dann kann auch das fehlschlagen, nur halt extrem unwahrscheinlich.

Je konzentrierter du vorgehst und desto kontrollierter dein Umfeld, desto unwahrscheinlicher sind solche Patzer, aber sie kommen halt auch gelegentlich vor, erst Recht, falls du gleichzeitig an dein Maximum gehst und dafür ggf. au Kontrolle sparst.

Die meisten RPG-Designer haben Statistik nicht studiert (oder sich das Wissen anders angeeignet), und seltsame Verteilungen wie von Mandelbrot et al. behandelt sind noch obskurer. Dementsprechend rechne ich nicht damit, dass es so bald ein RPG geben wird, das sie berücksichtigt, außer ich schreibe es selber, und irgendwie glaube ich, der Aufwand dafür würde sich nicht lohnen. (Wie sagte Sara in "Knights of the Dinner Table" zu RPG-Design? "No money, no women, and the stigma of geekiness.")

Ich hab mir jetzt mal "Design Patterns of Successful Role-Playing Games" von John Kirk runtergeladen, aber irgendwie erwarte ich, dass da auch nichts dazu drinstehen wird.

Ach, die Design Patterns ist Metaphysik und Blabla für mich. Also was ich SEHR schätze ist der Artikel Dice Rolls in Roleyplaing games von Torben Mogenson.


Der hat ne Professur in Computer Science in Copenhagen
https://www.researchgate.net/profile/Torben-Mogensen-2

Die erste Version davon, die ich kenne, ist von 2007. Einen besseren Einstieg in Würfelwahrscheinlichkeiten für RPGs kenne ich nicht, für mich als "Laie" mit gerade Mathe II, war das ein Geschenk des Himmels, zu der ich immer wieder zurückgekehrt bin beim Basteln. Es ist fundiert, aber trotzdem leicht genug verständlich. Ich würde von jedem, der ein RPG designen und Geld dafür haben will, nicht weniger Know-How erwarten als das, was darin zusammengefasst ist.

Danke für den guten Tipp, @BoyScout !

Hab es schon durchgelesen ("Design Patterns" soll warten), und ein paar Sachen sind mir aufgefallen:

- In 3.4 steht nichts dazu, dass der Durchschnitt/die Varianz unendliche Werte annehmen können. Dabei beschäftigt er sich doch mit explodierenden Würfeln...
- Der Median von drei ist doch einfach dasselbe wie der zweithöchste Würfel von drei. Von daher verstehe ich nicht, warum er beides erwähnt, als ob es da einen Unterschied gäbe.
- Sein drittes Problem mit rerolls verstehe ich nicht. Wie soll es zu "Löchern in der Verteilung" kommen? (Dass es bei explodierenden Würfen keine Obergrenze mehr gibt, sehe ich auch anders [not a bug, but a feature], aber OK, das ist Geschmackssache.)

Ich glaube, ich muss dem Autor eine Mail schreiben, da besteht Klärungsbedarf. Trotzdem, danke für den Tipp.

Ich denke, dass der sehr offen bei Nachfragen sein wird. Ich kann dazu keine Meinung abgeben, da ich mich wieder da einarbeiten müsste.

Aber den Punkt mit den Löchern finde ich unter 3.4 z. B. nicht. Es scheint mir aber logisch, dass wenn ich z. B. den Maxwert eines Würfel explodieren lasse (das meint er mit Rerolls), dann kann ich den Maxwert nicht mehr als Ergebnis haben.
Es sei denn natürlich der Würfel hat auch das Ergebnis 0, so hab ich das z.B. bei meinem Homeebrew gemacht.

Die Antworten würden mich aber interessieren.