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Statistik: Verteilungen jenseits der Glockenkurve

Max Sinister 2

anerkannt
OK, ich weiß, für viele hier ist Gleichverteilung (1W6, 1W20...) gut genug, und die meisten anderen sind mit einfachen Glockenkurven-Verteilungen (nW6 usw.) auch glücklich, und die DRASTIC-Leute sagen sowieso "Ich spiele einen Charakter, und mein SL schummelt!"

Aber ich hab nun mal ein paar Statistik-Vorlesungen gehört, und mag auch, was Geistesgrößen wie Benoit Mandelbrot (Stichwort Chaostheorie) und andere zum Fach gesagt haben.

Und bei letzterem habe ich ein Beispiel gefunden, das hier recht am Platz ist:

Kurt und Zacharias spielen ein Münzwurfspiel: Einer von beiden wirft eine Münze so lange, wie seine Seite (Kopf für Kurt und Zahl für Zacharias, deshalb heißen die beiden auch nicht Peter und Paul) kommt. Anschließend gewinnt er vom anderen 1 Euro, wenn beim ersten Mal schon die falsche Seite kam; 2 €, wenn seine Seite nur beim ersten Mal kam und dann nicht mehr; 4 €, wenn sie zweimal kam; usw.

Preisfrage: Wieviel Geld müsste er als "Eintritt" für dieses Spiel zahlen, damit es fair für beide ist? (Die Münze ist fair.)

Tipp: Man muss nur den Erwartungswert berechnen. Wenn das Spiel auf einen Wurf beschränkt wäre, wäre der: 50% von 1€ + 50% von 2€ = 1,50 €. Soweit, so uninteressant. Aber wenn es keine wie auch immer geartete Obergrenze gäbe: Wie hoch wäre er dann?

Der Erwartungswert wird: 1/2 * 1 € + 1/4 * 2€ + 1/8 * 4€ + ... = 0,50 € + 0,50 € +0,50 € + ...

...und ob ihr es glaubt oder nicht, das Ergebnis ist tatsächlich unendlich!

Das hat mich auch überrascht - in meinen regulären Statistik-Vorlesungen ist mir sowas nicht untergekommen.

Für diejenigen, die es interessiert: Mandelbrot unterscheidet im Wesentlichen "harmlose" Verteilungen wie die normale Gaußsche Glockenkurve, wilde wie diese hier, und solche dazwischen, bei denen der Erwartungswert endlich ist, aber die Varianz unendlich. Ja, auch das kann möglich sein.

Ein ähnliches System gibt es auch mit den offenen Würfen in Rolemaster. Wenn ein Wurf nach oben/unten offen ist, hat man eine Chance von je 5%, dass man nochmal würfeln muss, und das Ergebnis aufaddiert/abgezogen wird. Und wenn der W100 dann wieder 96-100 ergibt, muss man nochmal würfeln und wieder aufaddieren/abziehen, ud so theoretisch weiter bis in alle Ewigkeit.

Und in Earthdawn sind alle Würfe nach oben offen. (Früher hatte ich mal eine Tabelle dazu erstellt.)

Irgendwie hatte ich das richtige Gefühl, als ich diese zwei Mechanismen aus unerfindlichen Gründen besonders itneressant fand...
 

BoyScout

Dhampir
Savage Worlds benutzt auch offene, genannt explodierende Würfel, so wie viele Systeme.

Ich bin jetzt kein Crack in Stochastik, da ich nur das Überlebensnotwendigste gelernt hab, aber dass das Ergebnis unendlich ist, wenn es potenziell unendlich viele Würfe gibt, finde ich jetzt nicht überraschend.
 

Durro-Dhun

Erklär(wer)bär
#StandWithUkraine
Savage Worlds benutzt auch offene, genannt explodierende Würfel, so wie viele Systeme.

Ich bin jetzt kein Crack in Stochastik, da ich nur das Überlebensnotwendigste gelernt hab, aber dass das Ergebnis unendlich ist, wenn es potenziell unendlich viele Würfe gibt, finde ich jetzt nicht überraschend.
Das schon, aber ein explodierender Würfel hat eine geringere Chance zu explodieren, üblicherweise bei einem n-seitigen Würfel 1-n-tel.
Oben im Beispiel ist ja jeder Summand gleich 1/2 €.
Wenn die Regeln wie im Beispiel oben die gleichen bleiben und der Einsatz verdoppelt wird ist jeder Summand bei einem n-seitigen Würfel Summe über x(i) [ (1/n)hoch x(i) *x(i)*1€ ], also müsste das Ergebnis statt auf Unendlich auf einen Grenzwert zulaufen.
@Max Sinister 2 korrekt? Meine Stochastik Vorlesung ist schon ne Weile her und ich hab das jetzt eher aus dem Bauch raus überschlagen. :p

Man könnte natürlich auf das gleiche Ergebnis kommen, wenn der Einsatz nicht verdoppelt wird sondern ver-n-facht.
 
Zuletzt bearbeitet:

BoyScout

Dhampir
Achso, du meinst, weil der Zuwachs immer weiter abnimmt.
Aber das kann man doch mit höherem Einsatz wieder ausgleichen, oder nicht (bin zu faul zum Rechnen)'?

EDIT: ah, hast du ja geschrieben. Also wie gesagt, finde ich nicht überraschend.
 

1of3

Gott
Ein ähnliches System gibt es auch mit den offenen Würfen in Rolemaster. Wenn ein Wurf nach oben/unten offen ist, hat man eine Chance von je 5%, dass man nochmal würfeln muss, und das Ergebnis aufaddiert/abgezogen wird. Und wenn der W100 dann wieder 96-100 ergibt, muss man nochmal würfeln und wieder aufaddieren/abziehen, ud so theoretisch weiter bis in alle Ewigkeit.

Das konvergiert dann allerdings. Und die Varianz ist auch endlich.
 
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