Rollenspieltheorie Würfelwahrscheinlichkeiten, Durchschnitt, Streichwürfe

Es gibt so einige Systeme mit "nimm die besten 3 von 4 würfeln als summe" oder "such dir 6 aus 7 würfelwürfen aus" Charaktergenerierungsystemen. Die Wahrscheinlichkeit von so was zu berechnen ist tricky...

Der beste von 2w6:

1 = 1/6 * 1/6 = 1/36 (eine 1 im ersten und eine 1 im zweiten wurf)
2 = 1/6 * 2/6 + 1/6 * 1/6 = 3/36
3 = 1/6 * 3/6 + 2/6 * 1/6 = 5/36 (eine 3 werfen und 3 oder niedriger PLUS etwas niedrigeres als eine 3 und eine 3 werfen)
4 = 1/6 * 4/6 + 3/6 * 1/6 = 7/36
5 = 1/6 * 5/6 + 4/6 * 1/6 = 9/36
6 = 1/6 * 6/6 + 5/6 * 1/6 = 11/36 (eine 6 im ersten und irgend was im zweiten wurf oder keine 6 im ersten und eine 6 im 2. wurf)

Jetzt komme ich auf 36/36 und das scheint zu funktionieren... Die Wrüfelwerte mit ihrer Wahrscheinlihckeit Multipliziert und dann addiert ergibt 4,47 also eine erhöhung des durchschnitts um fast 1... erfolgreich gerechnet, wenn auch aufwendig.

Wie soll das nur enden wenn ich ausrechnen möchte, wie 12 mal mit 1w100 werfen und den schlechtesten Wurf streichen den Durchschnitt der 11 verbliebenen Werte beeinflußt... gibt es da eine Formel / fertige Lösung???

:titanic:

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Wahrscheinlichkeitsrechnung habe ich leider nie in der Schule gehabt...

Ich hab vor einer Weile aber mal ein Programm geschrieben um Würfelwürfe verschiedenster Art simuliert. Wenn du ansatzweise programmieren kannst, ist das eigentlich ziemlich einfach ... das Programm einfach 1.000.000x würfel lassen und die Ergebnisse/Durchschnittswerte/sonstwas ausschmeissen lassen, die sind ganz brauchbar ^^

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das problem ist, dass computerzufallsgeneratoren nicht unbedingt genau sind.
mit QBASIC fallen mir extrem starke varianzen trotz gigantischer n auf. also mal eben1-2% punkte bei 100.000 durchgängen....
den groben wertebereich kruiegt man trotzdem. nur nachkommastellen sollte man nicht allzuernst nehmen und zum testen mehrmals durchlaufen lassen...

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Die korrekte Lösung wäre ja alle möglichkeiten aufzuschreiben (excel script oder so wenn man nichts fortschrittlicheres hat) und dann auszuzählen. Aber da muß es irgend eine formel für geben, sooo komplex ist es nun auch nicht?

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würde glaube ich auch am ehsten ein programm schreiben. wenn man sich nen guten zufallszahlengenerator nimmt sollte es da auch keine allzu großen probleme geben...
hab gerade ne bessere idee:
wird aber irgendwann sehr aufwendig. klapper einfach den kompletten raum und schreib dir alle ergebnisse auf.
fürs 2w6 (in fortran pseudo-code)

speicher=0
do i=1,6
do j=1,6
schaue was größere ist (i,j) -> temp
speicher=speicher+temp
enddo
enddo
mittelwert=speicher/(6*6)

wird bei 12w100 wahrscheinlich recht lange zum durchlaufen brauchen (10^13 schritte), aber eigentlich sind die alle recht billig, mußt ja nur sortieren und den niedrigsten rauswerfen. kann gucken, daß ich das morgen schreibe, haben eh noch ne doktorprüfung, da macht mein rechner eh ne zeitlang nix.
hat aber aufjedenfall den vorteil, dass man das analytishce ergebnis erhält und glaube das programmieren geht schneller als sich die formel zu überlegen...

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URPG schrieb:

Die korrekte Lösung wäre ja alle möglichkeiten aufzuschreiben (excel script oder so wenn man nichts fortschrittlicheres hat) und dann auszuzählen. Aber da muß es irgend eine formel für geben, sooo komplex ist es nun auch nicht?

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Was du beschreibst ist doch im Prinzip eine Abwandlung eines Brute - Forced - Minmax - Alghorythmus. Also nen Baum aller möglichen "Züge" (würfe) aufbauen und für jedes Blatt das Ergebnis ausrechnen dann nach Ergebnissen gruppieren.

Vermutlich gibt es eine tausendmal einfacherere Lösung rein Mathematisch....

Wenn ich noch drin währe würde es reichen das Problem in Prolog zu formulieren der Suchbaum der zur Lösung führt würde Prolog selbstständig abfahren.

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mir ist vorhin aufgefallen, dass ich für die 12w100 mit gelabbert habe. wären 10^24 zahlen die man abklappern müßte, was dann wieder probleme mit dem computer macht. glaube maschinengenauigkeit ist irgendwo bei 15-20 ziffern...
ich probiers ma mit den zufallszahlen, erscheint mir sicherer

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so hab ma nen bißchen rechnen lassen...

iterationen mittelwert standartabweichung
1e3 54.015
1e4 54.251
1e5 54.335
1e6 54.334 8.814
1e7 54.347 8.810

=> zu 68% sollte man also einen durchschnitt zwischen 45 - 63 erhalten.

die kleine abweichung von 50 wundert mich etwas, hätte eher gedacht das sie etwas größer sein wird. aber eigentlich ist es klar, wenn ich immer mehr würfel nehme und nur einen streiche lande ich irgendwann wieder bei der 50. (naja, eigentlich 50.5, 0 können wir ja nicht würfeln)

vergleich zur genauigkeit 1w100:
iterationen mittelwert
1e3 51.035
1e4 50.373
1e5 50.441
1e6 50.476
1e7 50.499

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Die Wahrscheinlichkeit, dass das höchste von n gleichverteilten Zufallsexperimenten das Ergebnis x liefert, ist...

n * P(X_1 = x) * P(X_1 <= x) ^(n-1)

Das heißt nichts anderes, dass ein Würfel x zeigen muss und die anderen (n-1) dürfen nichts Höheres zeigen. Da jeder der n Würfel der eine sein kann, muss man das ganze mit n malnehmen.


Diese Betrachtung löst jetzt aber nur das Problem, wenn man eine höchste Zufallsvariable rausnimmt. Oftmals möchte man aber die Summe aus den besten k Stück haben.

Um das zu lösen, kann man alle möglichen Summen von k Stück ausrechnen. Das sind (ⁿ_k). Auf diese Y_1 bis Y_(ⁿ_k) wende man dann das oben beschriebene Verfahren an.

Soweit so einfach. Jetzt das Problem: Summen sind in der Stochastik hässlich, denn für die gibt es keine einfache Formel. Zwar lässt sich die Wahrscheinlichkeit für unabhängige Zufallgrößen, wie wir sie hier vorliegen haben, als Faltung der Dichten schreiben, aber das steht nun leider genau für das, was man per Hand tun würde.


Da ist eine gute Idee den Computer zu bemühen.

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Folgendes würde ich vorschlagen:

Für der Beste von x Würfeln: (ohne dem N+1 am Anfang ist es auch schon, der schlechteste von)

D= Anzahl der Würfel
N= Anzahl der Seiten des Würfels

Erwartungswert = N+1-((Summe der Ausprägungen des Würfels bis N hoch D)/N hoch D)

Als Beispiel die 2 6-seitigen Würfel:
Erwartungswert= 6+1-((1+4+9+16+25+36)/36)=6+1-(91/36)=4,472

3 10-seitige Würfel:
11-(1+8+27+64+125+216+343+512+829+1000)/1000=7,975

Ich glaube so sollte das klappen. Der einfachste Weg ist es wohl eine Matrix in Excel aufzubauen und daraus dann die Summe mit der unteresten Zahl zu dividieren und diesen Wert von der Anzahl der Seiten der Würfel +1 abzuziehen:

Beispiel wie es im Excel aussehen sollte für W6 und drei Würfel:
3
1 1 ( hier steht als Formel zum Beispiel =A2*B1)
2 8
3 27
4 64
5 125
6 216

Summe 441

Dann einfach 441/216 und diesen Betrag von 7 abziehen.


Wobei mir einfällt - gefühlsmässig, gerechnet habe ich es nicht - das es dabei ein Maximum für den Erwartungswert in Höhe von N geben muss.

AW: Würfelwahrscheinlichkeiten, Durchschnitt, Streichwürfe

Da fiel mir doch gerade noch was ein ...
Im alten L5R-Buch ist eine Tabelle drin mit Wahrscheinlichkeiten zu dem Würfelsystem, würds dir helfen, wenn ich dir die abtippe?

Dabei gehts darum [Skill+Attribut]W10 zu werfen und sich [Attribut]W10 auszusuchen und damit den höchsten Wert zu erreichen.
Die Tabelle geht für Attribute 1-6 mit je Skill 0-4 und gibt die %-Werte an, einen bestimmten Wert (10-40 bin 5-Schritten) zu erreichen.