Rätsel, Rätsel und noch mehr Rätsel !!!

Saber überlebt. Er kommt als letztes zum Treffen. Da sie sich besprechen wollen ist anzunehmen, dass die vier anderen näher beieinander stehen, als der neu dazukommende.
 
Ich weiß ein kleines weißes Haus,
hat keine Fenstern, Türen, Tore,
und will der kleine Wirt heraus,
so muss er erst die Wand durchbohren.
 
|:)

Bertha und ihre Rasselbande haben einen alten Bahnhof entdeckt und beginnen diesen zu erforschen. Als ihnen schon etwas langweilig wird, finden sie 100 Schlüssel. Schnell finden sie heraus, daß diese zu den Schließfächern passen und öffnen alle Schließfächer. Als sie den ganzen Plunder heraus geräumt haben, kommt Erwin auf ein Spiel. Er verschließt zuerst nur jedes zweite Fach, dann öffnet oder schließt er jedes Dritte, je nachdem, in welchem Zustand es vorher war. Das macht er noch, als alle anderen schon Ball spielen gegangen sind. Er will nämlich heraus finden, wieviel Fächer offen stehen, wenn er das ganze bis zum Faktor 100 durchexerziert.

Oder könnt Ihr Ihm sagen, wieviel Fächer offen stehen werden?
 
Die kleine Elli schaute Erwin eine Weile zu und fing an, die Prozedur auf 10 Fächer anzuwenden, indem sie ein paar Steine zum Simulieren benutzte. Sie dachte, sie könnte ein Schema herausfinden und dieses auf die 100 anwenden, um Erwin zu helfen.
 
Was nen das für ne Formel :xx:

Im Prinzip geht es darum die Anzahl der möglichen Teiler einer Zahl zu bestimmen. Bei gerader Anzahl ist die Tür zum Schluss geschlossen, bei ungerader Anzahl ist sie zum Schluss offen. Teiler einer Zahl treten eigentlich immer in Paaren, die als Produkt die entsprechende Zahl haben, auf (z.B. bei 6 gibt es das Paar 1,6 und das Paar 2,3) und somit eine gerade Anzahl von Teilern. Ausnahmen sind hierbei die Quadratzahlen, da hier eines der Paaren aus nur einer Zahl besteht (z.B. bei der 9 gibt es das Paar 1,9 und das Paar 3,3) gibt es hier eine ungerade Anzahl von Teilern. Somit sind zum Schluss folgende Türen geöffnet:

1, 4, 9, 16, 25 , 36, 49, 64, 81, 100
 
Stimmt ;)

Wir nummerieren die Türen von links nach rechts durch - also von 1 bis 100. Der Mann kommt in Durchgang eins zu allen Türen, durch 1 sind schließlich alle Zahlen teilbar. In Durchgang zwei kommt er zu all den Türen, deren Nummer durch 2 teilbar ist. In Durchgang 3 sind es alle Türen, deren Nummer durch 3 teilbar ist - und so weiter.

Ganz allgemein bedeutet das: Die Anzahl der Zustandsänderungen einer Tür entspricht genau der Anzahl der Teiler ihrer Nummer. Und deshalb stehen am Ende nur die Türen offen, deren Nummer eine ungerade Anzahl von Teilern hat.
Es gibt eine Funktion, mit der wir die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl berechnen können - die sogenannte Teileranzahlfunktion. Sie wissen wahrscheinlich, dass man jede natürliche Zahl als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben kann (Ausnahme: Die Zahl ist selbst eine Primzahl).

Ganz allgemein lässt sich jede natürliche Zahl n wie folgt darstellen:

n = p1e1 * p2e2 * p3e3 * ... pknk

Die Zahlen von p1 bis pk sind dabei die Primteiler von n und e1, e2, ... ek sind die Exponenten der Primzahlen in der Primzahlzerlegung. Denn eine Primzahl kann auch als mehrfacher Faktor auftauchen, siehe 36 = 2*2*3*3 = 22 * 32 .

Die gesuchte Zahl ist laut Teileranzahlfunktion das folgende Produkt:

Anzahl der Teiler von n = (e1+1) * (e2+1) * (e3+1) * ... * (ek+1)

Exkurs: Warum diese Formel zutrifft, kann man relativ leicht erklären. Wenn wir alle Teiler des Produkts p1e1 * p2e2 * p3e3 * ... pknk suchen, finden wir beispielsweise beim ersten Faktor p1e1 genau (e1+1) verschiedene Möglichkeiten, nämlich p10, p11, p12, p13, ... p1e1. Diese Überlegung können wir für jeden der k Primfaktoren anstellen - und mit etwas Kombinatorik kommen wir dann zum Ergebnis, dass die Gesamtzahl der Teiler von n genau dem Produkt (e1+1) * (e2+1) * (e3+1) * ... * (ek+1) entspricht.

Wir suchen alle Zahlen zwischen 1 und 100, die eine ungerade Anzahl von Teilern haben. Das Produkt (e1+1) * (e2+1) * (e3+1) * ... * (ek+1) muss dann eine ungerade Zahl ergeben. Das ist genau dann der Fall, wenn alle Exponenten von e1, e2 bis ek gerade sind. Denn ein Produkt aus mehreren Zahlen ist nur dann ungerade, wenn sämtliche Faktoren ungerade Zahlen sind.

Wenn aber alle Exponenten gerade sind, muss es sich bei der Zahl um eine Quadratzahl handeln. Das versteht man am besten am Beispiel 36 = 22 * 32. Wir können statt 22 * 32 auch schreiben:

22 * 32 = (2*3) *(2*3) = (2*3)2

Und das ist definitiv eine Quadratzahl.

Damit ist die Aufgabe gelöst. Von 1 bis 100 gibt es genau zehn Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) - und die Türen mit genau diesen Nummern stehen offen.
 
1000 Ameisen

Alle Ameisen laufen mit konstante Geschwindigkeit und gleich schnell. Wenn 2 Ameisen gegeneinander stoßen wechseln beide die Richtung. Wenn man eine Ameise auf eine Stange setzt läuft sie in eine zufällige Richtung und braucht maximal 1 Minute bis an den Rand kommt wo sie runterfällt.

Wie lange braucht es maximal bis alle Ameisen runtergefallen sind, wenn man 1000 auf eine Stange setzt.
 
Also die Stange ist irgendwo festgemacht oder ist das eine Stange für das Gedankenspiel, die nur ein Ende hat und das andere ist unwichtig?

Können die Ameisen aneinander vorbei auf der Stange?
 
Die Ameisen kommen nicht aneinander vorbei, sondern drehen sich um und laufen weiter wenn zwei sich treffen. Steht auch oben im Text. Die Stange ist eine normale Stange mit zwei Enden. Stell sie dir in der Luft schwebend vor, wobei das für das Rätzel eher irrelevant ist
 
Also zwei Enden an denen die Ameisen runterfallen können und 1 Minute maximal, bis die Ameise herunterfällt.
Da ansonsten keine Zeit angegeben wurde, würde ich auf

maximal 500 Minuten tippen
 
Japp, komme auch auf 1 Minute mit folgender Überlegung: Da die Ameisen untereinander identisch sind, ist das Rätsel äquivalent zu einem, bei dem die Ameisen aneinander vorbeilaufen:
Sagen wir die Ameisen Alrik und Mr. Johnson begegnen sich und drehen sich beide um. Jetzt benenne ich "Alrik" einfach um in "Mr. Johnson" und "Mr. Johnson" in "Alrik". Dann ist es so, als wären Alrik und Mr. Johnson einfach weitergelaufen. Diese Namenswechsel mache ich bei jeder Begegnung - und damit laufen "Alrik" und "Mr. Johnson" einfach immer weiter gerade aus - und fallen damit nach maximal 1 Minute vom Stab.
Damit lässt sich übrigens auch angeben, wie lange die Ameisen brauchen, abhängig von der Stabkonfiguration: So lange, wie die Ameise brauchen würde, die am weitesten Weg von dem Ende des Stabes sitzt, zu dem sie blickt.
 
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