Rollenspieltheorie Wahrscheinlichkeitstheorie für Rollenspieler

Würde euch eine Artikelreihe wie unten beschrieben interessieren?

  • Ja.

    Stimmen: 27 67,5%
  • Nein.

    Stimmen: 6 15,0%
  • Mach was du willst - ist mir egal.

    Stimmen: 7 17,5%
  • Vielleicht, wenn... (s. Antwort-Post)

    Stimmen: 0 0,0%

  • Umfrageteilnehmer
    40
@Ioelet: Vielleicht wäre ein Q&A Thread statt den Artikeln auch eine Idee. ;)
Angesichts der Tatsache, dass ich z.Z. nicht dazu komme die Artikel zu schreiben und zumindest diese beiden Fragen sehr simpel zu beantworten sind - nicht ganz doof.
@Kowalski: Das "Unterbewusstsein" verwendet aber andere Modellbildungsmechanismen als Mathematik. ;)
Das würde ich garnicht so sehen. Intuitives Bauchgefühl ist tatsächlich in der Mathematik nicht unwichtig. Gerade wenn man nah an der Praxis arbeitet. Aber auch im ganz abstrakten Rahmen kann ein guter mathematischer Instinkt einen zum Teil auf Rechenwege führen, die man systematisch nie gefunden hätte.
Deswegen sind Menschen ja auch immer noch viel bessere Mathematiker als Computer. Die können (wie der Name sagt) nur rechnen.

Aber zu den kurzen Fragen:
4W6, der niedrigste Wurf wird entfernt und die restlichen drei addiert. Wie hoch sind Erwartungswert und Varianz, und wie rechnet man das aus?
Im "A Song of Ice and Fire"-Unterforum wurde gerade dieser Mechanismus berechnet.
s. Hier

Für eine nachvollziehbare Schrittweise Herleitung einer Formel würde ich dann wieder auf die Artikel verweisen - das würde hier etwas zu weit führen. Außerdem müsste ich die Formel selbst erst herleiten oder suchen... ;) Idee beim Erwartungswert ist
"Gewichtete Summe aller möglichen Ergebnisse"
und zwar gewichtet mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit.
Idee bei der Varianz ist
"nach Wahrscheinlichkeit gewichtete quadrierte Abweichung aller möglichen Ergebnisse jeweils vom Erwartungswert"
Bei 4 Würfeln lässt sich das dann sogar noch per Hand ausrechnen:

Rezept:
1.) Wir nehmen 4 verschiedenfarbige W6. (gelb, rot, grün, blau) Jeder davon könnte 6 verschiedene Ergebnisse zeigen. Die Ergebnisse des gelben Würfels beeinflussen den roten offensichtlich nicht und auch alle anderen Farbkombinationen sind unabhängig.
Wir haben also 6 Möglichkeiten für gelb. Jeder dieser 6 kann gleichzeitig mit 6 Möglichkeiten von rot erwürfelt werden. Also 6*6 Möglichkeiten was ein Wurf von gelb-rot zeigen könnte... für alle 4 Würfel landen wir also bei 6*6*6*6 Möglichkeiten, was die anzeigen können. Macht 1296 mögliche Würfelergebnisse.
2.) Jetzt berechnen wir Wahrscheinlichkeiten: Für 1296 Fälle??? Nein, natürlich nicht. Wir brauchen ja Wahrscheinlichkeiten aller Möglichen Ergebnisse dessen wovon wir den Erwartungswert wollen - nämlich der Summe von 3 aus 4 W6. Und die liegt zwischen 3-fach 1 und 3-fach 6.
Wir brauchen also die Wahrscheinlichkeiten von 3 bis 18. 16 Stück also - das würde sogar gehen. Auch wenns ne ziemliche Rechnerei wird und erfahrungsgemäß am Ende sowas wie "42" rauskommt, weil man sich irgendwo verrechnet hat. ;)
Wahrscheinlichkeit für Summe 3:
Alle 1296 Fälle von oben sind gleich wahrscheinlich, also jeweils 1/1296. Damit wir 3 1er addieren müssen, müssen wir 4 1er würfeln. Jeder andere Wurf gibt uns die Möglichkeit einen höheren Würfel zu behalten und in die Summe einzurechnen.
Also haben wir einen möglichen Fall mit Summe 3, mit Wahrscheinlichkeit 1/1296
=> P(Summe ist 3) = 1/1296
Wahrscheinlichkeit für Summe 4:
Um 4 als Summe zu erhalten brauchen wir eine gewürfelte 2 und sonst nur 1er. Eine zweite 2 würden wir ebenfalls behalten und somit auf 2+2+1=5 kommen... wollen wir aber ja nicht. Also bleibt nur die Würfelkombination 2, 1 ,1 , 1 wobei der zweier aber sowohl gelb als auch rot, grün oder blau sein kann. Vier verschiedene Fälle also, mit je Wahrscheinlichkeit 1/1296
=> P(Summe ist 4) = 4/1296
...
Das ziehen wir jetzt bis 18 so durch.
3.) Danach summieren wir nach Wahrscheinlichkeit gewichtet unsere Ergebnisse auf:
3*(1/1296) + 4*(4/1296) + 5*... = 12,24 (wenn das Tool aus dem aSoIaF-Thread richtig gerechnet hat)
Fertig
4.) Es ist hier gerade heiß und mein Kopf glüht, weshalb mir gerade keine Formel einfällt um das zu vereinfachen. Aber bei Würfelwürfen kann man normalerweise immer was aus der "Multinomialverteilung" (s. Wiki, wenns interessiert) zusammenbasteln. Die Multinomialverteilungsformel gibt uns die Wahrscheinlichkeiten. Gerade im Bereich mittlerer Werte wird das nämlich eine ziemliche umständliche Angelegenheit, wenn man mit bunten Würfeln alle Möglichkeiten basteln und zählen will. Auf anhieb ist das die einzige Abkürzung die mir einfällt... ein anderer Ansatz wäre noch die Wahrscheinlichkeiten für einfach 4 aufsummierte Würfel zu berechnen und dann bei jedem Wert zu berechnen, was man jeweils mit welcher W.keit als niedrigstes Würfelergebnis wegstreichen müsste. Könnte in manchen Fällen schneller gehen.

5.) Für die Varianz: Im wesentlichen das selbe Rezept, wenn man verstanden hat was eine Varianz ist...
In der Tabelle des aSoIaF-Threads steht hier übrigens unter "Abweichung" die Standardabweichung - das ist die Wurzel der Varianz.

Ich befürchte meine Antwort war hier vielleicht nicht sehr befriedigend - aber in den Artikeln werden wir wohl auch öfter zu dem Ergebnis kommen, dass gerade Streich-Summen-Pool-Systeme sich nicht dazu eignen spontan am Spieltisch Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Ich glaube selbst der umständliche DSA-Mechanismus ist da einfacher zu berechnen.

Das soll auch garnicht Ziel der Artikel sein.
Viel wichtiger sind mir die Fragestellungen wie "Wenn ich Zeit habe, woher kriege ich dann so ne Wahrscheinlichkeit? Was bringt mir so eine Zahl? Was bedeutet das für die Praxis? Kann ich mit dem Wissen, dass der Erwartungswert 12,24 beträgt irgendwas anfangen? Sind alle Systeme, die bei einem Wurf Erwartungswert 12,24 haben beliebig austauschbar oder was sollte ich noch berücksichtigen?"
 
Weil´s gerade so gut zum Thema passt.
Ich versuche einen Mechanismus im Spiel zu etablieren, bei dem jede Runde erwürfelt wird, ob ein Ereignis eintritt.

Das Ereignis tritt ein:

In Runde 1 bei einer 1 auf demW20
In Runde 2 bei einer 1-2 auf dem W20
In Runde 3 bei einer 1-3 auf dem W20
usw.

Kann man da errechnen nach wie viel Runden im Schnitt das Ereignis eintritt?
Ja klar.
Wahrscheinlichkeit einer 1 auf einem W20 ist 1/20 = 0,05 = 5%
(über den Zwang von Hobbystatistikern das Prozentzeichen zu malen werde ich ein anderes mal lästern... aus irgendeinem Grund scheint das Leuten aber tatsächlich zu helfen, weshalb ich es auch mal hingemalt habe)
Wahrscheinlichkeit einer 1-2 auf einem W20 ist 2/20 = 0,1 = 10%
Wahrscheinlichkeit einer 1-3 auf einem W20 ist 3/20 = 0,15 = 15%
usw.

Wenn du mit usw wirklich meinst, dass das bis 20 so durchgezogen wird, dann bekommen wir in Runde 20 eine Wahrscheinlichkeit von 1
(also 100% - für die Freunde der Hundertstel ;) ) womit wir dann aufhören dürfen. Interessanter wird es, wenn es nur bis 19 hochgeht und wir berücksichtigen müssen, dass wir rein theoretisch auch noch 1000 20er würfeln können.

Aber zum simplen Fall:
Erwartungswert ist die nach wahrscheinlichkeit gewichtete Summe der möglichen Ergebnisse*.
Da die Reihe bei 20 immer abbricht, haben wir die Fälle, dass das Ergebnis von "Rundenzahl die es dauert bis Schluss ist" zwischen 1 und 20 liegt... und sogar systematisch viel hübscher als bei dem ekelhaften Streich-Summen-Pool-System gerade, nämlich:
1*5% + 2*95%*10% + 3*85,5%*15% + ...

Moment mal:
Wo kommen diese 95% bzw. 85,5% auf einmal her?

Kurz, knapp und vermutlich unverständlich (wie gesagt: da solls Artikel dazu geben):
Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Würfelei in der zweiten Runde endet ist 10%... aber nur dann, wenn sie nicht bereits in der ersten Runde geendet ist. Angenommen wir würden für die erste Runde (abweichend vom der obigen Tabelle) einfach sagen "Wenn wir ne 1-20 auf dem W20 würfeln hört es auf", dann wäre es natürlich ziemlich schräg dennoch anzunehmen, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ende nach der zweiten Runde bei 10% liegt...
Wir würden ja überhaupt nie in die zweite Runde kommen.
Um also die Wahrscheinlichkeit für ein Ende in der zweiten Runde zu berechnen machen wir also folgendes:
Wir zerlegen sie in die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir bis in die zweite Runde kommen - und DANN erst bricht die Sache mit 10% Wkeit ab.
Die Wahrscheinlichkeit, dass wir in die zweite Runde kommen ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass wir in die erste kommen (was ja 100% ist) mal die Wahrscheinlichkeit, dass wir dort NICHT abbrechen, also
1*(1-0,05) = 0,95
Dann erst kommt unsere Abbruchwahrscheinlichkeit bei Schritt 2 ins Spiel => P(Abbruch in Runde 2) = 0,95*0,1 = 0,095 = 9,5%
Die Wahrscheinlichkeit, dass wir in die dritte Runde kommen ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass wir in die zweite kommen (0,95 = 95%, haben wir gerade vor drei Zeilen berechnet) mal die Wahrscheinlichkeit, dass wir dort NICHT abbrechen, also
0,95*(1-0,1) = 0,855
=> P(Abbruch in Runde 3) = 0,855*0,15 = 0,128 = 12,8% (das Ergebnis ist gerundet)
...

Und jetzt wird eben zum Erwartungswert aufsummiert:
E = 1*5% + 2*95%*10% + 3*85,5%*15% + ... + 20*(was ganz kleines)*100% = 5,29

(falls Interesse an Zwischenergebnissen besteht, einfach fragen)

Varianz = 32,10
Standardabweichung = 5,67

Anmerkung:
Eine Standardabweichung von 5,67 bei einem Erwartungswert von 5,29 sollte uns zu denken geben. Wenn die Standardabweichung ähnlich groß wie der Erwartungswert ist, dann können wir mit ziemlich häufigen ziemlich starken Ausreißern rechnen, d.h. wir können im Normalfall nicht davon ausgehen, dass wir ungefähr 5 Runden brauchen, sondern dass es extreme Schwankungen in der Rundenzahl gibt.

2. Anmerkung:
Ich halte den Erwartungswert hier für ziemlich unbrauchbar. Erwartungswerte für diskrete Fragestellungen mit nur 20 verschiedenen möglichen Werten sind mMn meist irreführend. Bestes Beispiel ist da der Münzwurf - im Erwartungswert landet die Münze auf der Kante oder irgendwo auf ihrem eigenen Inneren... jedenfalls irgendwo, wo sie garantiert nicht landet und was uns nur bei ganz bestimmten Fragestellungen einen sinnvollen Nutzen bringt.
Oder mal etwas realitätsnäher:
Im Erwartungswert hätte es keine Finanzkrise gegeben: Fuck you, Finanz-BWLer - wir Mathematiker warnen euch schon seit Jahren, dass ihr Glücksspiel betreibt, egal wie viel ihr rechnet.

3. Anmerkung:
Und damit wären wir wieder beim Ansatz des Artikels. Schön und gut, dass wir jetzt nen Erwartungswert haben... aber bringt uns das irgendwas? Hätten wir in der Zeit nicht was sinnvolleres ausrechnen können? Oder ne Runde Crusader Kings zocken?

Was willst du denn konkret und ganz unmathematisch formuliert wissen?





*Mathematischer Funfact:
Unter "Ergebnis" verstehe ich hier die das wovon auch immer man eben den Erwartungswert will. Ich meine damit explizit nicht den mathematischen Begriff "Ergebnis", den wir für eine praxisnahe Betrachtung mMn nicht unbedingt brauchen bzw. der sich mit "Fall" mMn intuitiv besser bezeichnen lässt.
Außerdem habe ich ein Wort gebraucht, das nicht "Realisation der Zufallsvariable" heißt - Ergebnis beschreibt sprachlich ganz schön was gemeint ist. Wer sich aber selbst mathematisch weiterbilden will, sollte das berücksichtigen.
 
:eek:
OK, ich hab´s jetzt zweimal gelesen, nachher starte ich einen dritten Durchgang.


Was willst du denn konkret und ganz unmathematisch formuliert wissen?
Es geht ganz konkret darum wann Gegner der SC erscheinen, nachdem diese den Auslöser dazu gegeben haben (Lärm machen o.ä.). Ich wollte gerne so in etwa bei 10 Runden rauskommen, es aber nicht per Einzelwurf entscheiden. Die Spieler sollen selbst jede Runde würfeln.

Ich habe nix gegen Ausreißer, aber so 5 Runden im Schnitt sind zu wenig.
Hm...
 
Naja, in dem Fall wäre mMn eine simple und ziemlich logische Lösung, dass man in den ersten 5 Runden einfach nicht würfelt.
Je nach Spiel dürften das irgendwas zwischen 5 und 25 Sekunden sein (eben je nachdem wie lang eine Kampfrunde ist). Wenn die sich vorher nicht mit bereits gezückter Waffe hinter der Tür versteckt hatten, ist es absolut plausibel, dass sie eine gewisse Mindestzeit zum Herbeistürmen brauchen, die unmöglich unterschritten werden kann.

Wenn die Varianz dir egal ist, dann löst das ja eigentlich schon alles, oder?

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Interessanter FunFact:
Ein konstanthalten des Würfelwertes löst das Problem... so irgendwie...
Wenn du bei jedem Wurf sagst, dass bei 1-2 auf dem W20 die Wachen kommen, dann liegt der Erwartungswert bei 10.

...und wir sind wieder bei nem Punkt angekommen, wo ich über die Sinnhaftigkeit des Erwartungswertes schimpfen kann. Denn in der Praxis bringt es relativ wenig, dass die Wachen theoretisch auch in Runde 327 auftauchen könnten. Wenn man also sagt "nach 20 Runden hör ich auf mit dem Würfeln auf, da sind die SCs eh schon wieder ganz woanders ", dann liegt der Erwartungswert schon nur noch bei 6,35.
(Nochmal: Dieser Erwartungswert von 6,35 wäre der Erwartungswert der Rundenzahl wenn ich bis zu 20mal würfle und bei einer 1-2 aufhöre zu würfeln)

Der Erwartungswert des ungestoppten Würfelns (also man hört nie auf) kommt vor allem deswegen auf 10, weil der Bereich zwischen 21 und 50 Runden noch recht wahrscheinlich ist (11%, dass es so lang dauert, 0,5% dass es noch länger als 50 Runden dauert) und das Bild verzerren.

Die Standardabweichung ist mit 13,66 sogar deutlich größer als der Erwartungswert - hier wirds also wirklich zufällig wann die kommen.

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Dein Ansatz mit den ansteigenden Wahrscheinlichkeiten gefällt mir. Je länger die Wachen schon vertrödelt haben, desto mehr beeilen sie sich. Passt.
Was du noch variieren könntest, wäre das Verhalten der Wahrscheinlichkeiten in den "Tails", d.h. die Frage wie wahrscheinlich Extremfälle sein sollen.
Ein Ansatz wäre da die Mindestzeit, die ich oben vorgeschlagen habe, oben könntest du die Zeit begrenzen, indem du einfach schon nach dem 15. Wurf auf 1-19 springst... oder Ausreißer nach oben begünstigen, indem du ab dem 11. Wurf immer auf 1-10 würfelst.

...aber ganz ehrlich:
Bei sowas simplen wie "Wann kommen die Wachen" passt das System so schon. Lass die Spieler 5 Runden lang kämpfen und fang ab der 6. an zu würfeln.

Außer du besteht drauf, dass die auch in den ersten 5 Runden kommen können sollen.
 
Noch ein Ansatz wäre natürlich für eineige Runden immer auf einen Wert von 1 zu würfeln - und erst später mit der Steigerung anzufangen.

Um irgendwelche weiteren Empfehlungen zu geben wäre es tatsächlich wichtig zu wissen, wie du dir die Extremfälle vorstellst. Sollen die Wachen nach 20 Runden bereits sicher da sein, oder ist es auch ok, wenn die erst am nächsten Tag kommen?
Wie wahrscheinlich soll es sein, dass die bereits nach 2 Runden aus dem Schrank springen?

Team-Party-Kills sind meist eine Folge von Ausreißern... dass viele Spieleentwickler sich nur um Mittelwerte kümmern, merkt man dann oft erst, wenn der SR-Ork eine Handgranate fallen lässt.
 
Das Thema ist wirklich interessant. Danke noch mal für Deine Ausführungen.

Ich denke mal, dass ich wirklich erst nach einigen Runden mit dem Würfeln anfange, denn...
...Wenn die sich vorher nicht mit bereits gezückter Waffe hinter der Tür versteckt hatten, ist es absolut plausibel, dass sie eine gewisse Mindestzeit zum Herbeistürmen brauchen, die unmöglich unterschritten werden kann...
 
Geht natürlich auch einfacher... wie wärs denn mit 2W6 + 3 um zu ermittlen wann die Wachen kommen ? (dann kommen die irgendwann zwischen Runde 5 und 15 und der Mittelwert ist exakt 10).
 
germon schrieb:
Ich wollte gerne so in etwa bei 10 Runden rauskommen, es aber nicht per Einzelwurf entscheiden. Die Spieler sollen selbst jede Runde würfeln.
Geht natürlich auch einfacher... wie wärs denn mit 2W6 + 3 um zu ermittlen wann die Wachen kommen ? (dann kommen die irgendwann zwischen Runde 5 und 15 und der Mittelwert ist exakt 10).
 
Weil´s gerade so gut zum Thema passt.
Ich versuche einen Mechanismus im Spiel zu etablieren, bei dem jede Runde erwürfelt wird, ob ein Ereignis eintritt.

Das Ereignis tritt ein:

In Runde 1 bei einer 1 auf demW20
In Runde 2 bei einer 1-2 auf dem W20
In Runde 3 bei einer 1-3 auf dem W20
usw.


Kann man da errechnen nach wie viel Runden im Schnitt das Ereignis eintritt?


.

Eigentlich GANZ einfach. Mal gerade Stochastik aus dem Studium rausgekramt.

Wobei willst Du wissen wann 50% der Proben mindestens einen Erfolg haben?
Oder wann z.B. 90% der Proben einen Erfolg haben.
Du rechnest mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Sobald Du bei der abzuziehenden Wahrscheinlichkeit 0.5 erreichst oder unterschreitest hast Du den Punkt "Bei 50% aller Faelle tritt der Fall x ein"

1 Runde: 1.0 - 0.95 = 0.05 = 5%
2 Runde 1.0 - (0.95 * 0.9) = 0.145 = 14,5%
3 Runde 1.0 - (0,95 * 0,9 * 0,85) = 0.27325 = 27,325%
4 Runde 1,0 - (0,95 * 0,9 * 0,85 * 0,8) = 0,4186 = 41,86%
5 Runde 1,0 - (0,95 * 0,9 * 0,85 * 0,8 * 0,75) = 0,56395 = 56,395% (<-- d.h. nach 5 Runden hat ueber die Haelfte der Proben mindestens einen Erfolg)
...
11 Runde 1-0,0846770925 = ca 91,5% haben mindestens einen Erfolg
12 Runde 95,77 % haben einen Rrfolg
...
19 Runde 99,999997% haben mindestens einen Erfolg.
Wenn Du in der 20-ten Runde 100% erlaubst, dann ist der 20-te Wurf der erste mit sicherheit erfolgreiche.
 
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